十二平均律的理性推导

首先说一个问题,本人在详细思考了律制之后,从数学逻辑上推导十二平均律。现将其过程分享给大家,希望对大家有所帮助。此主题相关图片如下piano.jpg:一、共振与频率首先我们先解释一个问题,为什么有的时候你会感觉到两个同时发出的声音更和谐。肯定有人会说,因为共振呗!其实里面的物理原理没这么简单。先说一个最简单的例子,可能很多人都听过:当年称霸整个欧洲的拿破仑率领他的军队通过一座小桥。军队喊着“121”的号子齐步走上小桥。突然,桥塌了,n多士兵掉到了河里。不信你看现在军训之后,一旦通过什么天桥之类的地方,教官肯定让大家便步走。这就是因为拿破仑的前车之鉴。这里的问题在于齐步走的频率和桥的固有频率发生了共振。其实,物体本身是有一个固定的频率的,它按照这个固定的频率一直在震动,不过通常情况下,人是不会觉察出来的。那么我们看看如果外加一个震动会出现什么情况。 此主题相关图片如下振幅.jpg:图片点击可在新窗口打开查看这个图就非常明白地告诉了我们会发生什么现象。 红色的是y=sin(x),蓝色的是y=sin(2x),假设两者的振幅是一样的。虽然两者的频率差了1倍,但是共同作用的结果是震动的幅度几乎翻了一翻。学过三角函数的朋友们应该知道这个道理,两者的频率如果是倍频关系,就是一个频率是另一个的整数倍数,叠加的结果就会使震动幅度增加的越多。如果不是整数倍,那么效果就会差很多。我们假设红色的是桥的震动,而蓝色的是人的震动。有一个人在桥上走的情况,就是上面的图。如果桥上同时走两个人会怎么样呢?(注意!我下面指的是齐步走)此主题相关图片如下:黑线是只有一个人的情况,蓝线是两个人,红线是十个人。这个情况可非常恐怖了。振幅随着人数的增加迅速增长。大家注意,桥的固有频率的振幅其实不是很高,就算桥的频率没有和人行进的频率产生倍频的关系,但毕竟人多力量大,叠加的结果其实也差不多,不信大家自己吧y=sin(x)随便改成一个三角函数,做出来的图跟上面的那个没什么区别。士兵们在行进的过程中传达给桥的能量是和振幅正相关的。那么桥上的人越多给出的能量就越大,一旦这个能量超出了桥的承受范围,哼哼!那就有好戏看了。 这里同时也说明了一个问题,音乐中的共振关系,倍频的时候总是让人感到更和谐,更亢奋,就是因为振幅的叠加造成的。二、十二平均律的设计关于十二平均律,我们还是不要管是哪位前辈发现或者发明的了。首先一个问题,既然国际的标准是A=440Hz,那么我们不妨用A做例子说说这个问题。从一个A到下一个听着非常爽非常和谐的位置一定是A的倍频,而A的倍频里面最和谐的一定是A的2倍频和2半频——880Hz和220Hz。在十二平均律里面把这个定为一个八度。八度的概念一会再说。为什么要设计十二平均律呢,其实就是为了转调方便。大家知道自然音阶是由7个音组成的,我们暂且使用它们的音名CDEFGAB。然而要想自由转调可不是很容易,因为这7个音之间的间隔是不一样的。好比1,2,4,和2相比1是一半;和4相比2是一半。如果拿2当1的话,1:2:4=2:4:8。正好谁都用上了。相反,如果是1,2,3,和2相比1是一半;和3相比2可不是一半,如果拿2当1的话,1:2:3=2:4:6,这样3就用不上了。我们知道自然音阶之间是全全半全全全半的关系,如果半音作为一个单位的话,这之间刚刚好是12个单位。相反,如果我们用D当做dou的话,还要保证自然音阶的相对关系,那么就不可能像上面的例子里的1,2,4一样,继续往后延伸所有的数字都能用得上。这样在D大调的时候就不可能用到所有C大调的音。经过循环计算,还是得分成12份。这样说来所有的音之间的关系都确定了,我们假设相邻的音之间的频率比是k。注意,音和音之间的差别不是频率差而是频率比!这个可以参考上面的共振原理。我们假设从一个C开始的比例关系是:()

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