声音律制初步入门

声音
   谈到音律,现要说说人耳听觉的一些特点,人耳能够听到的声音频率是16–20000赫兹,一般人能够发出的声音频率是64–1300赫兹,一架钢琴上发出的声音在27.5-4096赫兹(基频)。人耳对声音敏感的是其频率的比值,而不是绝对频率,比如100赫兹的声音与200赫兹的声音听起来大不相同,可1100赫兹的声音与1200赫兹的声音听起来区别不大,对声律的研究是以这点为出发的。研究音律常用到的数学工具是对数,如果几个数字间的比例相等,往往不易直接看出,如果计算它们以同一个数为地的对数,那这几个数字的差是相等的,比较一目了然。音律上一般计算一个音和基准音频率比的以2为底的对数,这样频比的对数是1的两个音频率差一倍,也就是一个八度,是2的两个音差2个八度。因为以2为底的对数计算出来常常是小数,使用不便,所以把对数值乘以1200并取整,这样得到的值就叫“音分”,一个八度合1200音分。例如第一个音是261.63赫兹,第二个293.66赫兹,第三个329.63赫兹,后两个对第一个的音分分别是:(log(293.66/261.63)/log2)*1200=200和(log(329.63/261.63)/log2)*1200=400,很容易看出三者两两之比相同
律制
    律制就是解决以何种规律制定一套标准来刻画、记录音乐的问题。常见律制有十二平均律、纯律和五度相生律,这三种律制实际是规定如何在一个长是8度(2倍频率)的尺子上打刻度,以用来度量声音的不同解决方法。五度相生率和纯率都是按照实际操作的2倍频率、3倍频率和5倍频率来打刻度的,打出来的是一种不平均的刻度,而十二平均律则是用对数计算出来的一种人为但均匀的刻度。如果以整个尺子长1200音分计,五度相生律的尺子上7个刻度间隔分别是204,204,90,204,204,204,90;纯率尺子上7个刻度间隔分别是204,182,112,204,182,204,112;十二平均律的尺子上7个刻度间隔分别是200,200,100,200,200,200,100。同一个音用不同的尺子去量,就可能落在不同的刻度上,换句话说,如果我有一张纸上写着"1,4,5,2"这几个音(乐谱),我用不同的尺子来实际画(唱)出来,就会有不同的点(声音),这就是几种律制的实际区别.不同律制下各音级的位置和间隔如下(单位是音分)
音级            1        2        3    4        5        6        7    8
五度相生律音位   0        204     408   498     702       906      11101200
五度相生律音距       204      204    90     204      204      204      90    
纯率音位        0        204     386   498     702       884      10881200
纯率音距            204      182    112    204      182      204      112
十二平均律音位   0        200     400   500     700       900      11001200
十二平均律音距       200      200    100    200      200      200      100
    这个尺子记录的是声音频率的比值,所以你可以把尺子的起点定在任意高度,不论从300赫兹还是400赫兹起,听着都还像那首歌。可是如果你想跟朋友合唱,那你俩尺子起点最好选同一个点,否则同一个音符,在你俩这里就是两个音儿。
    对于绝对高度,也有一种标记方法,给各个频率起名字,叫做C2,D2,E2,F2,G2,A2,B2,C1,D1,E1,F1,G1,A1,B1,C,D,E,F,G,A,B,c,d,e,f,g,a,b,c1,d1,e1,f1,g1,a1,b1,c2,d2,e2,f2,g2,a2,b2,c3,d3,e3,f3,g3,a3,b3,c4,d4,e4,f4,g4,a4,b4…,规则是按照十二平均率的办法确定各个音的频率比值(间隔),既不分大小写,同一级别的d:c=2K,e:d=2K,f:e=K,g:f=2K,a:g=2K,b:a=2K,下一级别的c:a=K,其中K是2的12次平方根。这些音组成了一个空档间隔不同的梯子,每相邻级别的A(或B或C等等)的频率差正好是2倍,最后把a1的频率钉在440赫兹上(国际第一高度定义)。这样就有了度量绝对音高的一个尺度。

三分损益律
   三分损益律是中国古代使用的主要律法,它实际是五度相生律的一种形式。三分损益法的定律方法是:先选一段震动体(后面以弦为例)认为它的声音称作“宫”?,把它的长度依次乘以4/3和2/3来得到不同长度的弦,这些弦震动的声音就依次称作徴、商、羽、角。假设宫的弦长是81,计算出各音的弦长就分别是:(宫81)  *4/3->(徴108)*2/3->  (商72)*4/3->  (羽96)*2/3->(角64),把这几个音弦长按顺序排列就是:(徴108)(羽96)(宫81)(商72)(角64).大家知道,材质、粗细、张力等条件都相同时,弦音的频率和长短成反比,越短声音越高,依此可以计算各音间的差距,如羽对徴=(log(108/96)/log2)*1200=204音分,宫对羽=(log(96/81)/log2)*1200=294…,这就得出了前面说过的五度相生律的律差。为什么又叫五度相生律呢,因为长度比是2/3的两弦频率比是3/2,合702音分,西洋音乐中把这个差距叫做纯5度,长度比4/3的弦频率比是(3/2)/2,相当于长了一个纯五度,又往下拉了一个八度(倍频),所以三分损益法的实质是从一个音开始,上纯五度下拉八度定一个刻度,然后再上纯五度定一个刻度,再上纯五度下拉八度定一个刻度…
   
生律过程(假定宫的长度是81):
顺序     1     2     3     4     5
音级     宫->徴->商->羽->角
长度乘数   *4/3  *2/3  *4/3  *2/3
各音长度81   108    72    96    64

把各音长度依次排列,并按长度比换算出声音比例的音分值得到:
音级     徵        羽            宫      商        角           清徵
各音长度108       96            81      72        64           
音位     0        204           498     702       906           1200
音距         204          294       204      204           294       
 

十二律吕   
  按照“三分损益律”再往下推算,可以得到十二律,在《吕氏春秋·仲夏纪·音律篇》中有着详细的记载:“黄钟生林钟,林钟生太蔟,太族生南吕,南吕生姑洗,姑洗生应钟,应钟生蕤宾,蕤宾生大吕,大吕生夷则,夷则生夹钟,夹钟生无射,无射生仲吕。三分所生,益之一分以上生;三分所生,去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上,林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”也就是黄钟弦长*2/3得出林钟的弦长,林钟乘4/3得到太蔟的弦长,然后再乘2/3。。。但到蕤宾生大吕那里,按顺序该乘2/3,但改为4/3,后面也依次改,就像7月是大月,8月本改小月可改成了大月,后面的大小月也都变一样.将得到的十二律按弦长顺序排好之后是黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑冼、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟,可以计算出他们之间的音分差距分别是114、90、114、90、114、90、90、114、90、114、90。因为是每隔八位生一律,所以这种生律方法叫做“隔八相生法”,十二律中奇数律为阳律,又叫做六律,偶数律为阴律,又叫做六吕,平常我们经常听说的“十二律吕”也就是指这个。十二律各高一个八度(或频率高一倍或弦长短一半)的音分别称作"清黄钟"、"清大吕"…;十二律各低一个八度的音分别称作“变黄钟”、"变大吕"…。黄钟在一定的时期会选定一个比较固定的频率,所以这十二律吕就确定了一套绝对音高的度量体系。
生律过程(假定黄钟的长度是177147,即3的11次方,这样其他各律对应的长度都可以是整数):
1       2      3       4      5      6     7      8      9      10     11    12     13
黄钟    林钟   太蔟    南吕   姑洗   应钟  蕤宾   大吕   夷则   夹钟   无射  仲吕   清黄钟
    *2/3    *4/3   *2/3    *4/3   *2/3  *4/3   *4/3  *2/3  *4/3    *2/3   *4/3  *2/3
177147  118098157464  104976139968933121244161658881105921474569830413107287381.33

把各音长度依次排列得到:
音名黄钟   大吕   太蔟   夹钟   姑洗   仲吕   蕤宾   林钟   夷则   南吕   无射   应钟   清黄钟
长度177147165888157464147456139968131072124416118098110592104976098304093312087381.33
音位  0     114    204    318    408    522    612    702    816    906    1020   1110
音距    114     90    114     90    114     90     90     114    90     114     90
音位音距以音分为单位

   “三分损益律”所定音律有个缺陷,就是生率顺序的最后一位仲吕如果按规律再生一律,那么得到的并不是清黄宫(黄宫弦长一半),而是0.493倍,差了23.5音分。也就是说,黄钟音还不了原,如果不在11次上停下来,继续下去可以生出无数多的音来。关于黄钟音归位的问题一直困绕着中国古代音乐家。直到明代,才由朱载堉在世界音律史上首次建立十二平均律的数理理论,即采用2的12次方根作为生律的倍数,使得黄钟音终于能够顺利的“归位”。

泛音
   一根拉紧的琴弦在发生时,不但有整根弦作为波长的震动,而且同时存在着分别以弦长的1/2、1/3、1/4、1/5…为波长的震动,这些震动发出的声音频率依次是基频、基频的2倍、基频的3倍…,这些倍频音统称泛音。由于基频音的振幅最大,所以它的响度最大,其他倍频的音响度依次减少。各种乐器的震动发声都有泛音存在,基音的泛音数目和相对强度就决定乐器的音色。
   琴弦的二倍泛音震动的特点是整弦上有两个波长,整弦长1/2处是震动的节点,这里二倍频泛音的震幅为0,而这个节点确正是基频震动的波腹,振幅最大,如果用手指肚轻触这个节点,会限制它的震动,基频被抑制,就能听到清晰的倍频声音。同样如果在3倍音、5倍音的节点出处抑制振幅,就听到到3、5倍音,只是音量比基音要小,这就是泛音演奏的原理。
   古琴的徽位就是弦上部分泛音节点的标记。各徽位在全弦上的位置是一徽(1/8)、二徽(1/6)、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8,位置的分母数就是基频的频率被数,比如泛十一徽发音是散弦的5倍高。
 

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